4F光学系统是典型的滤波系统之一。可以利用光学傅立叶变换技术、光学相干技术进行二维处理，实现图像加减、图像微分等。

如下图所示，4F光学系统由物平面、傅立叶透镜图片、傅立叶透镜图片和像平面组成。

其中图片和图片的焦距均为ｆ，物平面到图片之间的距离为ｆ，图片与图片之间的距离为 ２ｆ，图片到像平面之间的距离为ｆ。

4F系统对光场的调制

根据傅立叶分析法，可以将光场 ｆ(ｘ，ｙ)，展开为无数个复函数的叠加 :

其中ｆ ｘ、ｆ ｙ 分别为 ｘ、ｙ 方向的空间频率，Ｆ(ｆ ｘ，ｆ ｙ) 称为 ｆ(ｘ，ｙ) 的空间频谱，代表空间频率(ｆ ｘ，ｆ ｙ) 所占的比例。Ｆ(ｆ ｘ，ｆ ｙ) 与ｆ(ｘ，ｙ) 互为傅立叶变换关系。

透镜可以作为傅立叶变换器，具有将光场复振幅二维傅立叶变换的功能，实现光波相位空间分布的调制。

设有焦距为ｆ的正透镜，波长为λ的平行光照射，在其前频谱面上放置复振幅透过率为ｆ(ｘ，ｙ) 的物，经过傅立叶变换可以在透镜的后频谱面上得到物的频谱 Ｆ(ｆ ｘ，ｆ ｙ)。

因此，Ｆ(ｆ ｘ，ｆ ｙ) 是空间频率图片的复振幅。

由于图片，因此当透镜的焦距一定时，频谱上中心点对应零频，离坐标原点越远的点对应物的频率越高的成分。

在4F系统中，在输入面上放置光场分布为 Ｅ１(ｘ１，ｙ１ ) 的物体，经过傅立叶透镜Ｌ１，由傅立叶变换可知在频谱面上得到物的频谱函数。

在频谱面上得到物体 Ｅ１ 的空间频谱，频标为图片，在频谱面上放置空间滤波器，再经过透镜 Ｌ２ 变换后，光场分布为:

因此像面上的图像与入射图像呈中心对称。

4F系统的图像微分

利用4F系统可以实现图像的微分，由(４) 式可以得到入射光场经过4F系统的个傅立叶透镜Ｌ１后频谱面上的光强分布。

没加滤波器时，傅立叶透镜 Ｌ２ 对频谱面上频谱分布进行逆傅立叶变换，得到像面上光场的复振幅分布:

由傅立叶微商定理得:

若在频谱面上加一个滤波器，其透射系数为:

滤波器的振幅透过率只要满足正比于图片，就通过图像的微分达到像的边缘增强的目的。

在一块全息干板上，将两套空间频率相差不大的光栅沿光栅线平行方向重叠在一起，形成复合光栅。

在本实验中，复合光栅 ｆ ０ ＝ １００ ｓ/ ｍｍ，ｆ′０ ＝ １０２ ｓ/ ｍｍ，复合光栅能产生两个相互错位的像，当两个像的相位差为 π 时，像的重叠部分相消仅留下边缘部分，从而达到图像边缘增强的效果。

设复合光栅初始位置的振幅透过率为: